原子轨道与电子云

关于这张实验台

电子没有轨迹，只有在哪里被找到的概率。

前三个课题看一个电子：点云是重复测量位置的记录，等值面是包住大部分概率的边界，径向分布告诉你离核多远最容易找到它。后四个课题走到多电子原子：构造原理决定电子按什么顺序进入轨道，泡利原理和洪特规则决定一个轨道框里怎么放，量子数给每个轨道一个地址。

点云、等值面、曲线与能级都来自同一套氢原子解析波函数，不是预先画好的图。点云中的一个点不是一个电子；颜色表示波函数 ψ 的正负相位，不表示电荷。

七个课题的结论

01 电子云：1s 的点在原子核附近最密，但离核 1 a₀ 以内的点只占 32.3 %。点密表示单位体积里的概率大，不表示电子在那里转圈。
02 轨道形状：s 轨道是球，p 轨道是两瓣哑铃，d 轨道多是四瓣花。等值面包住 90 % 的概率，换成 50 % 时边界向核收缩，瓣的方向不变。
03 径向分布：1s 的 r²R² 在 r = a₀ = 52.9 pm 处最大。2s 在 r = 2 a₀ 处有一个径向节点，3s 有两个（1.90 a₀ 与 7.10 a₀）；径向节点数是 n − l − 1，角节面数是 l。
04 构造原理：电子按 n + l 从小到大进入亚层，n + l 相同时 n 小的先进。所以 4s（n + l = 4）比 3d（n + l = 5）先填。
05 电子排布：一个轨道最多两个电子且自旋相反（泡利原理）；同一亚层先各占一个轨道且自旋平行（洪特规则）。氮的三个 2p 电子各占一格，自旋平行。铬是 3d⁵4s¹，铜是 3d¹⁰4s¹，这是半满与全满的例外。
06 量子数：l 只能取 0 到 n − 1，m 只能取 −l 到 +l。氢原子的能量只由 n 决定：E₁ = −13.6 eV，E₂ = −3.40 eV，E₃ = −1.51 eV，E₄ = −0.85 eV。
07 轨道库：第 n 层有 n² 个轨道，最多容纳 2n² 个电子；n ≤ 4 一共 30 个轨道。第 4 层有 16 个轨道，最多 32 个电子。

模型与来源

氢原子波函数：ψ = R(r)·Y(θ, φ)，原子单位，长度以玻尔半径 a₀ = 52.9 pm 计。径向部分用广义 Laguerre 多项式，角向部分用实球谐函数；数值积分核对 ∫|ψ|² dV = 1，误差小于 10⁻⁶。
点云：|ψ|² 可分成径向 r²R² 与角向 |Y|² 两部分，分别做拒绝采样，固定随机种子，点按顺序累积，同样的参数总是得到同样的点。
等值面：在 44 × 44 × 44 的网格上取 ψ，用 marching tetrahedra 抽出 ψ = +c 与 ψ = −c 两张面；c 取包住 50 %、70 % 或 90 % 概率的值。
能级：氢原子 Eₙ = −13.6 eV / n²。多电子原子的能级顺序用马德隆（n + l）规则；能级梯子的高度只表示先后，不按真实能量比例画。铬、铜的基态排布按实测数据登记。

多电子原子的轨道形状借用氢原子的形状，这是教学近似；真实原子里电子之间有排斥，轨道会收缩、能量会分裂。